/*
A6 as 9 x 9 matrices over Z.
Absolutely irreducible representation.
Schur Index 1.

SEED:
Nonzero v fixed by <x,y*x*y*x*y^2> = 3^2:4.
v has 1 x 10 = 10 images under G; <v> has 10 images under G.
BASIS:
NSB([x,y]) with above v.

Possible matrix entries are in {-1,0,1}.

Average number of nonzero entries for any element of the group:
16 + 1/5  (16.2; 20% exactly).

Entry  Av/Mat  %Av/Mat
    0   64.8      80
   ±1   16.2      20
    1    8.1      10
   -1    8.1      10
*/


F:=Rationals();

G<x,y>:=MatrixGroup<9,F|\[
1,0,0,0,0,0,0,0,0,
0,0,1,0,0,0,0,0,0,
0,1,0,0,0,0,0,0,0,
0,0,0,0,1,0,0,0,0,
0,0,0,1,0,0,0,0,0,
0,0,0,0,0,0,0,1,0,
0,0,0,0,0,0,1,0,0,
0,0,0,0,0,1,0,0,0,
-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1]
,\[
0,1,0,0,0,0,0,0,0,
0,0,0,1,0,0,0,0,0,
0,0,0,0,1,0,0,0,0,
0,0,0,0,0,1,0,0,0,
0,0,0,0,0,0,1,0,0,
1,0,0,0,0,0,0,0,0,
0,0,0,0,0,0,0,0,1,
0,0,0,0,0,0,0,1,0,
0,0,1,0,0,0,0,0,0]
>;


// Forms: B1 (Symmetric).
// B1 (Symmetric form): Determinant 100000000 [e.divs: 1.10^8].
B1:=MatrixAlgebra(F,9)!\[
9,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,
-1,9,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,
-1,-1,9,-1,-1,-1,-1,-1,-1,
-1,-1,-1,9,-1,-1,-1,-1,-1,
-1,-1,-1,-1,9,-1,-1,-1,-1,
-1,-1,-1,-1,-1,9,-1,-1,-1,
-1,-1,-1,-1,-1,-1,9,-1,-1,
-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,9,-1,
-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,9];


// Centralising algebra: Scalars only.
C1:=MatrixAlgebra(F,9)!\[
1,0,0,0,0,0,0,0,0,
0,1,0,0,0,0,0,0,0,
0,0,1,0,0,0,0,0,0,
0,0,0,1,0,0,0,0,0,
0,0,0,0,1,0,0,0,0,
0,0,0,0,0,1,0,0,0,
0,0,0,0,0,0,1,0,0,
0,0,0,0,0,0,0,1,0,
0,0,0,0,0,0,0,0,1];