/*
A6 as 16 x 16 matrices over Z.
Irreducible representation reducible over Q(b5).
Schur Index 1.

SEED:
Nonzero v fixed by <x,y*x*y^-1> = D8.
v has 1 x 45 = 45 images under G; <v> has 45 images under G.
BASIS:
All in v^G.

Possible matrix entries are in {-1,0,1}.

Average number of nonzero entries for any element of the group:
45 + 23/45  (about 45.511; 17.778%).

Entry   Av/Mat              %Av/Mat
    0  210.489 [210+22/45]   82.222 [82+2/9]
   ±1   45.511  [45+23/45]   17.778 [17+7/9]
    1   22.756  [22+34/45]    8.889  [8+8/9]
   -1   22.756  [22+34/45]    8.889  [8+8/9]
*/


F:=Rationals();

G<x,y>:=MatrixGroup<16,F|\[
1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,
0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,
0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,
0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,
0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,
0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,
0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,-1,1,0,0,0,0,
0,0,-1,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,1,-1,0,
0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,
1,-1,0,-1,1,0,0,1,0,0,0,0,0,1,-1,0,
0,0,0,0,0,1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,
0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,
0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,
-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,
0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,
0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0]
,\[
0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,
0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,
0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,
1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,
0,0,0,0,0,1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,
0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,
0,0,0,0,0,0,1,-1,1,0,0,0,0,0,0,0,
0,0,0,0,-1,0,1,-1,1,1,1,0,0,0,0,-1,
0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,
0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,
0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,
-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,
0,0,1,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,1,0,
0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,-1,0,0,0,
0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,
0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0]
>;


// Forms: B1,B2 (Symmetric).
// BB = B1+a*B2 has determinant 3^6*(a^2-a-11)^8 and is positive definite
// just when -3*b5-1 < a < 3*b5+2. (B2 is obviously not positive definite.)

// B1 (Symmetric form): Determinant 156267624249 = 3^6*11^8.
B1:=MatrixAlgebra(F,16)!\[
8,2,0,2,0,2,1,-1,-1,0,0,-1,-1,-4,-1,-1,
2,8,2,0,2,0,-1,0,2,-1,0,-1,2,-1,-4,-1,
0,2,8,2,-1,0,-1,0,0,2,-1,-4,1,1,-4,1,
2,0,2,8,0,-1,1,2,0,0,2,-4,-1,2,-1,1,
0,2,-1,0,8,2,-1,-1,1,0,2,1,0,-1,2,-4,
2,0,0,-1,2,8,2,0,-1,-1,-1,1,0,-4,1,-4,
1,-1,-1,1,-1,2,8,2,-4,-1,1,-1,2,-1,1,2,
-1,0,0,2,-1,0,2,8,2,2,1,-1,-1,-1,1,1,
-1,2,0,0,1,-1,-4,2,8,-1,-1,1,-4,0,-1,-1,
0,-1,2,0,0,-1,-1,2,-1,8,-1,-1,1,-1,2,1,
0,0,-1,2,2,-1,1,1,-1,-1,8,2,2,1,1,2,
-1,-1,-4,-4,1,1,-1,-1,1,-1,2,8,-1,-1,2,0,
-1,2,1,-1,0,0,2,-1,-4,1,2,-1,8,1,-1,1,
-4,-1,1,2,-1,-4,-1,-1,0,-1,1,-1,1,8,0,2,
-1,-4,-4,-1,2,1,1,1,-1,2,1,2,-1,0,8,-1,
-1,-1,1,1,-4,-4,2,1,-1,1,2,0,1,2,-1,8];

// B2 (Symmetric form): Determinant 729 = 3^6.
B2:=MatrixAlgebra(F,16)!\[
0,0,1,0,1,0,-1,0,0,1,1,0,0,0,0,0,
0,0,0,1,0,1,0,1,0,0,1,0,0,0,0,0,
1,0,0,0,0,1,0,1,1,0,0,0,-1,-1,0,-1,
0,1,0,0,1,0,-1,0,1,1,0,0,0,0,0,-1,
1,0,0,1,0,0,0,0,-1,1,0,-1,1,0,0,0,
0,1,1,0,0,0,0,1,0,0,0,-1,1,0,-1,0,
-1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,-1,0,
0,1,1,0,0,1,0,0,0,0,-1,0,0,0,-1,-1,
0,0,1,1,-1,0,0,0,0,0,0,-1,0,1,0,0,
1,0,0,1,1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,-1,
1,1,0,0,0,0,-1,-1,0,0,0,0,0,-1,-1,0,
0,0,0,0,-1,-1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,1,
0,0,-1,0,1,1,0,0,0,-1,0,0,0,-1,0,-1,
0,0,-1,0,0,0,0,0,1,0,-1,0,-1,0,1,0,
0,0,0,0,0,-1,-1,-1,0,0,-1,0,0,1,0,0,
0,0,-1,-1,0,0,0,-1,0,-1,0,1,-1,0,0,0];


// Centralising algebra: Generated by C1 = 1 and C2 = 3*b5+2.
// We get b5 = (C2-2*C1)/3 and r5 = (2*C2-C1)/3.
C1:=MatrixAlgebra(F,16)!\[
1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,
0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,
0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,
0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,
0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,
0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,
0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,
0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,
0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,
0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,
0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,
0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,
0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,
0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,
0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,
0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1];

C2:=MatrixAlgebra(F,16)!\[
0,1,-1,2,-2,-1,2,-1,1,-1,-2,1,1,-1,1,-1,
1,0,2,-1,1,-4,2,-1,1,-1,-2,1,1,-1,1,-1,
-2,1,1,2,1,-1,-1,-1,-2,-1,-2,1,1,-1,1,2,
1,-2,2,1,1,-1,-1,2,-2,-4,-2,1,1,-1,1,2,
-2,1,2,-1,0,-1,2,-1,1,-1,1,1,-2,-1,1,-1,
-2,1,-1,2,-2,1,2,-4,1,2,1,1,-2,-1,1,-1,
1,1,2,2,-2,-1,1,-1,1,-1,1,1,1,-1,4,-1,
1,-2,-1,-1,1,-1,-1,1,1,-1,1,-2,1,-1,1,2,
1,-2,-1,-1,4,-1,-1,2,0,-1,-2,1,1,-1,-2,2,
-2,1,-1,-1,-2,2,-1,-1,1,1,1,-2,1,-1,1,2,
1,-2,2,-1,1,-1,2,2,1,-1,0,1,1,2,1,-1,
1,-2,-1,-1,1,2,2,-1,4,2,1,0,1,2,-2,-1,
1,1,2,-1,-2,-1,2,-1,1,2,1,1,0,2,1,-1,
1,-2,2,-1,1,-1,-1,2,-2,-1,1,1,1,1,-2,-1,
-2,1,-1,-1,-2,2,2,-1,1,2,4,-2,-2,-1,0,-1,
1,-2,2,2,1,-1,-1,2,1,-1,-2,1,4,-1,1,1];